Question

已知数列{An}满足a1=1,a2=5,an+1=5an-4an-1,（n≥2）,求an

Answer 1

解

【1】

由题设可得：

a1=1, a2=5, a3=21, a4=85

【2】

构造数列：

bn=[a(n+1)]-(an). n=1,2,3,

易知,b1=4, b2=16, b3=64.

且由题设可得：bn=4b(n-1), n≥2

∴通项：bn=4^n. n=1,2,3.

【3】

由上面结果可知：

[a(n+1)]-(an)=4^n. n=1,2,3,

具体点,就是：

(a2)-(a1)=4¹

(a3)-(a2)=4²

(a4)-(a3)=4³

.

(an)-[a(n-1)]=4^(n-1)

上面式子累加,可得：

(an)-(a1)=4{[4^(n-1)]-1}/3

∴an=[(4^n)-1]/3.

经检验,通项为：

an=[(4^n)-1]/3, n=1,2,3,