1、解: 增广矩阵 =
2 1 -1 1 1
4 2 -2 1 2
2 1 -1 -1 1
r2-2r1, r3-r1
2 1 -1 1 1
0 0 0 -1 0
0 0 0 -2 0
r1+r2, r3-2r2, r2*(-1)
1 1/2 -1/2 0 1/2
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
一般解为: (1/2,0,0,0)+c1(-1/2,1,0,0)+c2(1/2,0,1,0)
4、判断下列向量组的线性相关性.
(1)A1=(1,1,1)T,A2=(0,2,5)T,A3=(1,3,6)T
(2)A1=(2,-1,3)T,A2=(3,-1,5)T,A3=(1,-4,3)T
知识点: n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的行列式等于零.
(1) 因为行列式
|a1,a2,a3| =
1 0 1
1 2 3
1 5 6
r2-r1,r3-r1
1 0 1
0 2 2
0 5 5
=0. (2,3行成比例)
所以 a1,a2,a3 线性相关.
(2) 因为行列式
|a1,a2,a3| =
2 3 1
-1 -1 -4
3 5 3
r1+2r2,r3+3r2
0 1 -7
-1 -1 -4
0 2 -9
r3-2r1
0 1 -7
-1 -1 -4
0 0 5
= 5 ≠ 0.
所以 a1,a2,a3 线性无关.