Question

对于每个自然数n，抛物线 y= x 2 - 2n+1 n(n+1) x+ 1 n(n+1) 与x轴交于A n 、B n

Answer 1

当n=1时，y=x ²-

3

2 x+

1

2 ，设y=x ²-

3

2 x+

1

2 =0的两根式a，b，

则a+b=

3

2 ，ab=

1

2 ，A ₁B ₁=

(a-b) 2 =

(a+b) 2 -4ab =

1

2 =1-

1

2 ，

当n=2时，y=x ²-

5

6 x+

1

6 ，同法可求出：A ₂B ₂=

1

6 =

1

2 -

1

3 ，

当n=3 时，y=x ²-

7

12 x+

1

12 ，同法可求出：A ₃B ₃=

1

12 =

1

3 -

1

4 ，

…

当n=2011 时，y=x ²-

4023

2011×2012 x+

1

2011 ×

1

2012 ，同法可求出：A ₂₀₁₁B ₂₀₁₁=

1

2011 ×

1

2012 =

1

2011 -

1

2012 ，

∴|A ₁B ₁|+|A ₂B ₂|+…+|A ₂₀₁₁B ₂₀₁₁|的值为1-

1

2 +

1

2 -

1

3 +

1

3 -

1

4 +…+

1

2011 -

1

2012 =1-

1

2012 =

2011

2012 ，

故选D．