Question

请问为什么x的高阶无穷小加x平方的高阶无穷小等于x的高阶无穷小,麻烦大家解释下(^３^)

Answer 1

先形象的解释一下（但不是严格推理）,o(x)表示比x更高阶的无穷小,假如x=0.1,那么o(x)可以看做是0.01,而o(x^2)=o(0.01)可以看做是0.001,那么0.01+0.001=0.011这也是比x=0.1更高阶的无穷小,因此有o(x)+o(x^2)=o(x).下面用o(x)的定义严格证明一下,如果一个无穷小量y（y是x的函数）满足limy/x=0（x趋于0时）,就记y=o(x),现在令y=o(x),z=o(x^2),根据定义有x趋于0时,limy/x=0,limz/x^2=0,那么我们来求极限lim(y+z)/x=lim(y/x)+lim(z/x)=lim(y/x)+limx*lim(y/x^2)=0,所以有y+z=o(x),这就证明了o(x)+o(x^2)=o(x).