已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1 - 知识问答

已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

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解题思路：（1）在a_n+1=3a_n+1中两边加[1/2]，易知数列
{
a
n
+
1
2
}
是以3为公比，以
a
1
+
1
2
＝
3
2
为首项的等比数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=
3
n
−1
2
，利用分组求和法即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．
（1）在a_n+1=3a_n+1中两边加[1/2]：an+
1
2＝3(an−1+
1
2)，…2分
可见数列{an+
1
2}是以3为公比，以a1+
1
2＝
3
2为首项的等比数列．…4分
故an＝
3
2×3n−1−
1
2＝
3n−1
2．…6分
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=
31−1
2+
32−1
2+…+
3n−1
2
=[1/2]（3+3²+…+3ⁿ）-[1/2]•n
=[1/2]•
3(1−3n)
1−3-[n/2]
=
3n+1−2n−3
4…12分
点评：
本题考点：数列的求和；等比关系的确定．
考点点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，求得an=3n−12是关键，属于中档题．

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