Question

已知数列a 1 ，a 2 ，…a 30 ，其中a 1 ，a 2 ，…a 10 是首项为1，公差为1的等差数列；a 10

Answer 1

（1）∵a ₁₀=10，a ₂₀=10+10d=40

∴d=3．（2分）

（2）a ₃₀=a ₂₀+10d ²=10（1+d+d ²）（d≠0），（4分）

= 10[( d+

1

2 ) 2 +

3

4 ] ，（6分）

当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a ₃₀∈[7.5，+∞）．（8分）

（3）所给数列可推广为无穷数列{a _n}，其中a ₁，a ₂…a ₁₀是首项为1，

公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a _10n，a _10n+1，…a _10（n+1）是公差为d ⁿ的等差数列．（10分）

由a ₄₀=a ₃₀+10d ³=10（1+d+d ²+d ³），

依此类推可得a _10（n+1）=10（1+d+…+d ⁿ）=

10×

1- d n+1

1-d ，d≠1

10(n+1)，d=1 （12分）

当d＞0时，a _10（n+1）的取值范围为（10，+∞）．（13分）