Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，AC＝CE．

Answer 1

解题思路：（1）连接BC、AC，先由等弧所对的圆周角相等得出∠B=∠CAE，再根据同角的余角相等证明∠B=∠ACD，进而得到∠CAE=∠ACD，最后利用等角对等边得到结论AF=CF；

（2）连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，先由垂径定理的推论得出OC⊥AE，EG=AG=[1/2]AE=4，再利用AAS证明△EGO≌△CDO，得出OG=OD，在△OEG中根据勾股定理求出OG=3，则OD=3，CG=AD=2．设GF=x，则CF=AF=4-x，然后在△CGF中利用勾股定理列出方程（4-x）²=2²+x²，解方程求出x的值，进而得到EF的长．

（1）证明：如图，连接BC、AC，

∵

AC=

CE，

∴∠B=∠CAE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

即∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴∠CAE=∠ACD，

∴AF=CF；

（2）连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，则OC⊥AE，EG=AG=[1/2]AE=4．

∵

AC=

CE，

∴∠COE=∠COA，即∠GOE=∠DOC，

又∠OGE=∠ODC=90°，OE=OC，

∴△EGO≌△CDO（AAS），

∴OG=OD．

在△OEG中，∵∠OGE=90°，OE=5，EG=4，

∴OG=

OE2−EG2=3，

∴OD=OG=3，CG=AD=2．

设GF=x，则CF=AF=4-x，

在△CGF中，∵∠CGF=90°，

∴CF²=CG²+GF²，即（4-x）²=2²+x²，

解得x=1.5，

∴EF=EG+GF=4+1.5=5.5．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，余角的性质，等腰三角形的判定，垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．