解题思路：（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．
（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∠EBD＝∠EFC
∠EDB＝∠FEC
ED＝EC
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∠EBD＝∠EFC
∠EDB＝∠FEC
ED＝EC
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=1，△ABC的边长为3，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=1，则CD=BC+BD=1+3=4，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中
∠B＝∠F
∠BDE＝∠FEC
ED＝EC
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案为：2或4．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．