解题思路：（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）先由f（x）=f（a） 得，
x
2
+
8
x
＝
a
2
+
8
a
，化简整理得，
(x−a)(x+a−
8
ax
)＝0
由x-a=0 得，方程的一个解x1=a；由
x+a−
8
ax
＝0
得，ax2+a2x-8=0，①解①得 有两个解，从而得出故原方程有三个实数解．
（1）当k=0 时，f（x） 是偶函数；
当k≠0 时，f（x） 既不是奇函数，也不是偶函数．
证明：①当k=0 时，f（x）=x2（x≠0 ），
∴f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x） 是偶函数；
②当k≠0 时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，
∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，
∴f（-1）≠-f（1）；
又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，
∴f（-1）≠f（1）．
∴f（x）
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由f（x）=f（a） 得，x2+
8
x＝a2+
8
a，
化简整理得，(x−a)(x+a−
8
ax)＝0，
由x-a=0 得，方程的一个解x1=a；
由x+a−
8
ax＝0 得，ax2+a2x-8=0，①
∵a＞3
，∴△=a4+32a＞0，
解①得x2＝
−a2−
a4+32a
2a，x3＝
−a2+
a4+32a
2a，
∵x2＜0，x3＞0，∴x2＜x3，
又x1＞0，∴x1＞x2．
若x1=x3，即a＝
−a2+
a4+32a
2a，
则3a2＝
a4+32a，
∴a4=4a，解得a=0 或a＝
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．