解题思路：根据全微分和初始条件可先确定f（x，y）的表达式．而f（x，y）在椭圆域上的最大值和最小值，可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值．
（1）首先考虑区域内部的情形．
由f（x，y） 的全微分表达式可知，
[∂f/∂x＝2x，
∂f
∂y＝−2y．
因为
∂f
∂x＝2x，故可设 f（x，y）=x2+C（y）．
代入
∂f
∂y＝−2y，可得 C′（y）=-2y，从而 C（y）=-y2+C．
再由f（1，1）=2，得 C=2，故 f（x，y）=x2-y2+2．
令
∂f
∂x＝2x=0，
∂f
∂y＝−2y=0，
求得 f（x，y） 的驻点为x=0，y=0．
因为 A＝
∂2f
∂x2]=2，B＝
∂2f
∂x∂y=0，C＝
∂2f
∂x2=-2，
△=B2-AC=4＞0，所以点（0，0）不是极值点，从而也非最值点．
（2）再考虑其在边界曲线 x2+
y2
4＝1 上的情形．
令拉格朗日函数为
F(x，y，λ)＝f(x，y)+λ(x2+
y2
4−1)，
求解方程组
F′x＝
∂f
∂x+2λx＝2(1+λ)x＝0
F′y＝
∂f
∂y+
λy
2＝(−2+
λ
2)y＝0
F′λ＝x2+
y2
4−1＝0，
得F（x，y，λ）的所有驻点：（0，2，4），（0，-2，4），（1，0，-1），（-1，0，-1）．
代入f（x，y）得 f（0，±2）=-2，f（±1，0）=3．
综合（1）（2）可得，z=f（x，y）在区域D＝{(x，y)|x2+
y2
4≤1}上的最大值为3，最小值为-2．
点评：
本题考点： 利用拉格朗日乘数法求条件极值；多元函数的最大值和最小值的求解．
考点点评： 本题考察了求解连续可微函数在闭区域上最值的方法，综合利用了二元函数极值点的求法以及利用拉格朗日乘数法求解极值的方法．题目的综合性比较强，难度系数较大．