Question

lim[x->0负] ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) 我为什么算了好多遍都是6a,可答案是-6a,怎么回事

Answer 1

先用等价无穷小,

在x->0负的时候,ln(1+ax^3)是等价于ax^3的,

所以

原极限=lim [x->0负] ax^3 /(x-arcsinx)

使用洛必达法则,对分子分母同时求导,

可以得到原极限=lim [x->0负] 3ax^2 / (1-1/√(1-x^2) )

这时候为了简单一点,可以再令x=sint,

于是原极限=lim [t->0负] 3a(sint)^2 / (1-1/cost )

=lim [t->0负] 3a*cost*(sint)^2 / (cost-1)

显然t->0时,1-cost是0.5t^2的等价无穷小,而cost=1

即cost-1等价于 -0.5t^2,

所以原极限=lim [t->0负] 3a(sint)^2 / ( -0.5t^2)

=lim [t->0负] -6a (sint)^2 / t^2

显然由重要极限可以知道,lim [t->0] sint / t =1,

即lim [t->0] (sint)^2 / t^2 =1,

于是原极限= -6a*1= -6a,

就是答案,

你应该就是计算的时候求导或者是用等价无穷小的时候错了个符号,

不明白的地方再问我