Question

过抛物线焦点y^2=4x的焦点F作直线l与抛物线交于A,B两点.求证:△AOB不是直角三角

Answer 1

抛物线y^2=4x的焦点为F（1,0）,

设过F的直线l:x=my+1,①

代入y^2=4x,整理得

y^2-4my-4=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

y1+y2=4m,y1y2=-4.

由①,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m^2y1y2+m(y1+y2)+1

=-4m^2+4m^2+1=1,

∴向量OA*OB=x1x2+y1y2=-3,

向量AO*AB=(-x1,-y1)*（x2-x1,y2-y1)=-x1x2+x1^2-y1y2+y1^2=3+OA^2>0,

同理,BO*BA=3+OB^2>0,

∴角AOB,角OAB,角ABO都不是直角,

∴△AOB不是直角三角形.