Question

一道数学三角形证明题若三角形中有一个角等于30度,且这个角所对的边是最长边的一半,那么这个三角形是不是Rt三角形,如果是

Answer 1

证：设△为ABC,BC为最长的边=a,∠B=30°,AC=b=BC/2=a/2,AB=c

因为BC为△ABC最长的边,所以一定可以过A点作AD⊥BC,交BC于D点,且D点一定在BC之间.

在直角△ABD中,AD=AB*sinB=c*sin30°=c/2,BD=c*cos30°=√3*c/2

CD=a-BD=a-√3*c/2

在直角△ACD中,根据勾股定理,得

AC^2=AD^2+CD^2

（a/2）^2=（c/2）^2+（a-√3*c/2）^2

4c^2-4√3*ac+3a^2=0

（2c-√3*a）^2=0

2c-√3*a=0

c=√3*a/2

在△ABC中,AC=a/2,BC=a,AB=√3*a/2

AC^2+AB^2=（a/2）^2+（√3*a/2）^2=a^2=BC^2

即AC^2+AB^2=BC^2

根据勾股定理,可知△ABC为直角△