1、那个老师问的是“知道不知道能否被整除”，可理解成“知道能被整除”和“知道不能被整除”两种情况，所以可以猜到：能被A整除的两位数只有5个，开头举手那4个人肯定是看到那5个人帽子上的数就是那5个，所以就知道了自己头上那个数肯定是不能被A整除的，所以就举手了。
则A有可能是：19、18、17。
相对应的，没有举手那五个小朋友帽子上的数字为：
19、38、57、76、95
或18、36、54、72、90
或17、34、51、68、85
2、两位数里能被24整除的有：24、48、72、96
因为只有3个小朋友没有举手，所以用第一步推理出的三种情况分别进行推理。
这时，通过分情况推理，只有在第一步时取A=18的情况能够符合情况：那5个没有举手的小孩知道了自己是能被A整除的，其中4个小孩能看到帽子上为“72”那个小孩的，所以就知道了自己是“18、36、54、90”的其中一个，所以他们知道自己不能被整除。
还有第二次没有举手的3个小朋友，他们帽子上的数字应该就是“24、48、96”了，剩下举了手的那2个，当然就是看到别的小朋友帽子上4个数字（24、48、72、96）都齐了，知道了自己帽子上的数不可能被24整除，所以举手。
3、综上所述，9顶帽子上的数字为：18、36、54、72、90、24、48、96和能举两次手的小明的，因为小明能从别的小朋友帽子上看到所有能被A和24整除的数，所以他知道自己不可能被A和24整除。
8个数加起来答案是438.
这道题的关键在于：那个老师问的是“知道不知道能否被整除”，可理解成“知道能被整除”和“知道不能被整除”两种情况。