Question

已只函数f(x)＝ lg(a^x -kb^x)(k∈ R+,a>1>b>o)的定义域恰为区间（0,+∞）,是否存在这样的

Answer 1

f(x)=lg[a^x－kb^x),因a>1>b>0且k>0,则a^x－kb^x递增,又f(x)的定义域恰为(0,＋∞),即只需要当x=0时,a^x－kb^x=0即可,得：k=1；另外,因f(x)在x∈(1,＋∞)时取正值,即f(x)=lg(a^x－b^x)取正值,那只要x=1时取0即可,得：lg(a－b)=0,得：a－b=1；再者f(3)=lg4,则：a³－b³=4,所以4=a³－b³=(a－b)(a²＋ab＋b²)=a²＋ab＋b²=(a－b)²＋3ab=1＋3ab,得：ab=1,又a－b=1,解得：a=(1＋√5)/2,b=(－1＋√5)/2