Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线

Answer 1

解题思路：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△APE和△AME中

∠BAC＝∠DAC

AE＝AE

∠AEP＝∠AEM

∴△APE≌△AME，∴①正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB=90°，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠OEP=∠EOF=∠OFP=90°，

∴四边形PEOF是矩形，

∴OE=PF，OF=PE，

在直角△OPF中，OE²+PE²=PO²，

∴PE²+PF²=PO²，∴②正确．

∵只有当△OFP是等腰直角三角形时，才能和△BFN相似，∴③错误；

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠PAE=∠MAE=45°，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP=∠AEM=90°，

∴∠AMP=∠APM=45°，

∴AM=AP，

∴△AMP是等腰直角三角形，

同理△BPN都是等腰直角三角形，

∴当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

∴AP=BP，即P时AB的中点，∴④正确．

故答案为：①②④．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．