（1）1+3xm＞xm+9m,
当m大于零时有,
m+3x＞x+9,
2x＞9-m,
∴x＞12（9-m）,
x+1＞x-2+m3,
∴3x+3＞x-2+m,
x＞m-52,
当12（9-m）=m-52时,
解得：m=7,
存在数m=7使关于x的不等式1+3xm＞xm+9m与关于x的不等式x+1＞x-2+m3的解集相同；
（2）1+3xm＞xm+9m,
当m小于零时有,m+3x＜x+9,
2x＜9-m,
∴x＜12（9-m）,
对：x+1＞x-2+m3,
3x+3＞x-2+m,
x＞m-52,
∵x＞m-52与x＜12（9-m）的不等号方向是相反,
∴当m＜0时不存在
综合（1）,（2）存在整数m=7使关于x的不等式1+3xm＞xm+9m与关于x的不等式x+1＞x-2+m3的解集相同．
12（9-m）=1,
∴关于x的不等式1+3xm＞xm+9m与关于x的不等式x+1＞x-2+m3的解集都是x＞1,
答：存在整数m,使关于x的不等式1+3xm＞xm+9m与关于x的不等式x+1＞x-2+m3的解集相同,整数m=7,不等式的解集是x＞1．点评：本题主要考查对解一元一次方程,不等式的性质,解一元一次不等式等知识点的理解和掌握,能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．