Question

已知a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,求证:a平方+b平方大于等于1/2

Answer 1

证：原不等式可转换为 （a+b）^2-2ab≥1/2

又 a+b=1 所以 1-2ab≥1/2 即 ab ≤1/4

只要证 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1时,ab ≤1/4

令f（a）=ab=a（1-a）=-a^2+a ,a属于(0,正无穷) 函数开口向下

对称轴 a=1/2 ,f（a）min=f(12)=1/4

所以 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1时,ab ≤1/4

所以 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1时,a^2+b^2≥1/2