Question

已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log

Answer 1

解题思路：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x_n，再求相应的函数值．

∵函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，

∴P（1，1），

∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，

故y=xⁿ⁺¹在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），

令y=0可得x=[n/n+1]，

即该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=[n/n+1]，

所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃[1/2]×[2/3]×[3/4]×…×[2012/2013]=log2013

1

2013=-1，

故选B．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．