Question

三角形三边满足（a+b+c)(a+b-c)=3ab,sinC=2sinBcosA,判断三角形形状

Answer 1

(a+b+c)(a+b-c)=3ab -> a^2+b^2-ab-c^2=0 -> c^2=a^2+b^2-ab

根据余弦定理得 c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab -> -2abcosC=-ab -> cosC=1/2

因为C∈（0,180）-> C=60

sinC=2sinBcosA -> sin(A+B)=2sinBcosA -> sinAcosB+sinBcosA=2sinBcosA ->

sinAcosB-sinBcosA=0 -> sin(A-B)=0 -> A-B=0 -> A=B

又因为A+B=180-C=120 -> A=B=60

所以三角形为等边三角形