Question

如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，（Ⅰ）求证：MD

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，

∴MD ∥ AP，

又MD⊄平面ABC，

∴MD ∥ 平面APC．

（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，

∴MD⊥PB．

又由（Ⅰ）知MD ∥ AP，

∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，PB∩PC=P

∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC，

∴AP⊥BC，

又AC⊥BC，而AP∩AC=A，

∴BC⊥平面APC，

又BC包含于平面ABC

∴平面ABC⊥平面PAC．