Question

抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，[9/4]），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．

Answer 1

解题思路：（1）根据抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A（1，[9/4]），对称轴是直线x=2，可得关于a，b的方程组，求得a，b的值，从而得到抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式；再根据顶点坐标公式即可得到顶点D的坐标；

（2）设⊙M的半径为r．分两种情况：①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上；②当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO的延长线上；列出关于r的方程，求得r的值，从而得到点M的坐标．

（1）由题意，得

a+b＝

9

4

−

b

2a＝2，

解得：

a＝−

3

4

b＝3．

则抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式y＝−

3

4x2+3x，顶点D（2，3）．

（2）设⊙M的半径为r．

由当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，分下列两种情况：

①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上，

可得3²+（4-r-1）²=（r+1）²．

解得r＝

17

8，

∴M(

15

8，0)．

②当⊙M和⊙N内切时，此时点M在线段BO的延长线上，

可得3²+（r-1-2）²=（r-1）²．

解得r＝

17

4，

∴M(−

1

4，0)．

综合①、②可知，当⊙M和⊙N相切时，M(

15

8，0)或M(−

1

4，0)．

点评：

本题考点： 二次函数综合题

考点点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，对称轴公式、顶点坐标公式；第（2）问注意分内切和外切两种情况讨论求解，综合性较强．