Question

（2012•肇庆二模）若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf

Answer 1

解题思路：令x=0，可得

f(

1

2

)＝−

1

2

f(0)

．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，

f(

1

2

)•f(0)＝−

1

2

(f(0)

)

2

＜0

．可得f（x）在

(0，

1

2

)

上必有实根，可判断A

假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，则有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判断B

因为f（x）=log₂x的定义域不是R可判断C

设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断D

令x=0，得f(

1

2)+

1

2f(0)＝0．所以f(

1

2)＝−

1

2f(0)．若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f(

1

2)•f(0)＝−

1

2(f(0))2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在(0，

1

2)上必有实数根．因此任意的“

1

2−同伴函数”必有根，即任意“

1

2−同伴函数”至少有一个零点．：A正确，

用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．B错误

因为f（x）=log₂x的定义域不是R．C错误

设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”．D错误，

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的零点．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．