Question

经济管理类的高数求可降解的高阶微分方程的通解xy''+y'=0求方程的特解y''+y'2=1,y(0)=0,y'(0)=

Answer 1

(1)xy''+y'=0

两边积分,得

xy'=C

y'=C/x

y=C1ln|x|+C2

(2)令p=y'

则y''=dy'/dx=dp/dy * dy/dx=p' *p

于是方程化为pp'+p^2=1

p'=(1-p^2)/p

pdp/(1-p^2)=dy

1/2 * d(p^2)/(1-p^2)=dy

两边积分,得

-ln|1-p^2|=2y+C

-ln|1-y'^2|=2y+C

将y(0)=0,y'(0)=0代入,得C=0

于是方程化为 -ln|1-y'^2|=2y

ln|1-y'^2|= -2y

|1-y'^2|=e^(-2y)

1-y'^2=e^(-2y) 或 1-y'^2= -e^(-2y)（将y(0)=0,y'(0)=0代入,发现第二种情况不符,舍去）

接下去见图