Question

如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，BA、ED的延长线

Answer 1

解题思路：（1）根据根与系数的关系得到a+b=c+4，ab=4c+8，把第一等式两边平方后把第二个等式代入得到a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；

（2）由25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=[9c/25a]，再根据三角函数定义得sin∠BAC=[a/c]，则3c=5a，设c=5x，则a=3x，b=4x，代入a+b=c+4求出x=2，则得到a=6，b=8，c=10；

根据切线的性质得到DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，得到四边形DECF为正方形，设DE=DF=DG=R，利用S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，得到关于R的方程，解方程求出R，即可得到四边形CEDF的面积．

（1）证明：∵a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两个根，

∴a+b=c+4，ab=4c+8，

∴（a+b）²=（c+4）²，即a²+2ab+b²=c²+8c+16，

∴a²+b²=c²，

∴△ABC是直角三角形；

（2）连DB，如图

∵25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=[9c/25a]，

在Rt△ABC中，sin∠BAC=[a/c]，

∴[a/c]=[9c/25a]，

∴25a²=9c²，

∴3c=5a，

设c=5x，则a=3x，b=4x，

∴5x+4x=3x+4x+4，解得x=2，

∴a=6，b=8，c=10，

∵⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，

∴DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，

∴四边形DECF为正方形，

设DE=DF=DG=R，

∵S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，

∴[1/2]×6×8+[1/2]×（R+8）×R=[1/2]×（6+R）×R+[1/2]×10×R，解得R=6，

∴四边形CEDF的面积=R²=36．

点评：

本题考点： 切线的性质；根与系数的关系；勾股定理的逆定理；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理的逆定理、三角函数的定义以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根与系数的关系：如果方程的两个实数根x1、x2，则x1+x2=-[b/a]，x1•x2=[c/a]．