解题思路：（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；
（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；
（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．
（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，
∴4=3+m．
∴m=1．
设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）2．
∵点A（3，4）在二次函数y=a（x-1）2的图象上，
∴4=a（3-1）2，
∴a=1．
∴所求二次函数的关系式为y=（x-1）2．
即y=x2-2x+1．
（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．
∴PE=h=yP-yE
=（x+1）-（x2-2x+1）
=-x2+3x．
即h=-x2+3x（0＜x＜3）．
（3）存在．
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．
∵点D在直线y=x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴-x2+3x=2．
即x2-3x+2=0．
解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．
设直线CE的函数关系式为y=x+b．
∵直线CE经过点C（1，0），
∴0=1+b，
∴b=-1．
∴直线CE的函数关系式为y=x-1．
∴
y=x-1
y=x2-2x+1
得x2-3x+2=0．
解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；
（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．