Question

如图实心点的个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作

Answer 1

解题思路：根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，写出对应的n-1个等式，然后用累加的办法求出该数列的通项公式，然后代入项求项数．

a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，由此可知数列{a_n+1-a_n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．

所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．

a₂-a₁=3×1+1

a₃-a₂=3×2+1

…

a_n-a_n-1=3（n-1）+1

累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1

所以a_n=a₁+3×

n(n−1)

2+n-1=1+

3n(n−1)

2+n-1=

3n2−n

2．

由a_n=

3n2−n

2=145，解得：n=-[29/3]（舍），或n=10．

故答案为：10．

点评：

本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，即从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，本题训练了一种求数列通项的重要方法--累加法．