Question

设f（x）=lg1+2x+4xa3，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

解题思路：f（x）有意义，则真数大于0，所以问题转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．分离参数，转化为求函数的最值解决．注意到4^x=（2^x）²，换元法转化为求二次函数在特定区间上的最值问题．

当x∈（-∞，1]时f（x）=lg

1+2x+4xa

3有意义的函数问题，

转化为1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．

不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，

即：a＞-[（[1/2]）^2x+（[1/2]）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．

设t=（[1/2]）^x，则t≥[1/2]，又设g（t）=t²+t，其对称轴为t=-[1/2]

∴g（t）=t²+t在[[1/2]，+∞）上为增函数，当t=[1/2]时，g（t）有最小值g（[1/2]）=（[1/2]）²+[1/2]=[3/4]

所以a的取值范围是a＞-[3/4]．

点评：

本题考点： 对数函数的单调性与特殊点；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 本题考查对数函数的定义域、不等式恒成立问题，考查换元法和转化思想．