Question

已知A={x|log2（4x）•log4[4x2≥2}，g（x）=4x4x+1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求出集合A中的不等式的解集，即得集合A；

（Ⅱ）用单调性的定义证明g（x）的单调性；

（Ⅲ）由g（x）的单调性，求出g（x）在[[1/2]，1]上的最值，即可得出λ的取值范围是什么时，方程g（x）=λ在x∈A上有实数解．

（Ⅰ）集合A中的不等式可化为（2+log₂x）（1-log₂x）≥2，

整理得，log22x+log₂x≤0；

解得，-1≤log₂x≤0，

∴

1/2]≤x≤1；

∴A=[[1/2]，1]；

（Ⅱ）g（x）的定义域为R，

设x₁＞x₂，则4x1-4x2＞0；

∴g（x₁）-g（x₂）=

4x1

4x1+1-

4x2

4x2+1=

4x1−4x2

(4x1+1)(4x2+1)＞0，

∴g（x）在R上是增函数．

（Ⅲ）当x∈[[1/2]，1]时，g（x）是增函数，

∴当x=[1/2]时，g（x）_min=[2/3]；当x=1时，g（x）_max=[4/5]；

∴当[2/3]≤λ≤[4/5]时，方程g（x）=λ在x∈A上有实数解．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；对数的运算性质；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查了函数与不等式和方程的解法与应用问题，解题时应根据函数的单调性求不等式的解集，求函数的最值，从而判定方程的解是否存在，是综合性题目．