f(n) = 5^(3n)+5^(2n)+5^n+1
= (5^n + 1)*(15^(2n)+1)
令 n = 4k 时 ,k ∈ N
很显然 f(4k) = (5^(4k) + 1)*(5^(8k) + 1) 是不能整除 13 的
当 n = 4k + 1 时 k ∈ N
f(4k + 1) = (5^(4k+1) + 1)*(5^(8k+2) + 1)
= (5^(4k+1) + 1)*(25^(4k+1) + 1)
= (5^(4k+1) + 1)*[(26 - 1)^(4k+1) + 1]
= (5^(4k+1) + 1)*{(C4k+1 0)*26^(4k+1) + (C4k+1 1)*[26^(4k)]*(-1) + …… + (C4k+1 4k)*26*(-1)^(4k) + (C4k+1 4k+1)*(-1)^(4k+1) + 1}
= (5^(4k+1) + 1)*{(C4k+1 0)*26^(4k+1) + (C4k+1 1)*[26^(4k)]*(-1) + …… + (C4k+1 4k)*26*(-1)^(4k) }
= 26* (5^(4k+1) + 1)*{(C4k+1 0)*26^(4k) + (C4k+1 1)*[26^(4k-1)]*(-1) + …… + (C4k+1 4k)*(-1)^(4k) }
上面的 C4k+1 0 前面的数是 小标 后面的数是上标,其实就是二项式展开
因为 26 | 13 所以 f(4k+1) | 13
当 n = 4k + 2 时 k ∈ N
f(4k + 1) = (5^(4k+2) + 1)*(5^(8k+4) + 1)
= (25^(2k+1) + 1)*(5^(8k+4) + 1)
= [(26-1)^(2k+1) + 1]*(5^(8k+4) + 1)
= {(C2k+1 0)*26^(2k+1) + (C2k+1 1)*[26^(2k)]*(-1) + …… + (C2k+1 2k)*26*(-1)^(2k) + (C2k+1 2k)*(-1)^(2k+1) + 1}*(5^(8k+4) + 1)
= {(C2k+1 0)*26^(2k+1) + (C2k+1 1)*[26^(2k)]*(-1) + …… + (C2k+1 2k)*26*(-1)^(2k) }*(5^(8k+4) + 1)
= 26*{(C2k+1 0)*26^(2k) + (C2k+1 1)*[26^(2k-1)]*(-1) + …… + (C2k+1 2k)*(-1)^(2k) }*(5^(8k+4) + 1)
因为 26 | 13 所以 f(4k+2) | 13
当 n = 4k + 3 时 k ∈ N
f(4k + 1) = (5^(4k+3) + 1)*(5^(8k+6) + 1)
= (5^(4k+3) + 1)*(25^(4k+3) + 1)
= (5^(4k+3) + 1)*[(26 - 1)^(4k+3) + 1]
= (5^(4k+3) + 1)*{(C4k+3 0)*26^(4k+3) + (C4k+3 1)*[26^(4k + 2)]*(-1) + …… + (C4k+3 4k+2)*26*(-1)^(4k+2) + (C4k+3 4k+3)*(-1)^(4k+3) + 1}
= (5^(4k+3) + 1)*{(C4k+3 0)*26^(4k+3) + (C4k+3 1)*[26^(4k+2)]*(-1) + …… + (C4k+3 4k+2)*26*(-1)^(4k) }
= 26* (5^(4k+1) + 1)*{(C4k+3 0)*26^(4k+2) + (C4k+3 1)*[26^(4k+1)]*(-1) + …… + (C4k+3 4k+2)*(-1)^(4k) }
因为 26 | 13 所以 f(4k+3) | 13
综上所述
当且仅当4不能整除n时,13能整除f(n)