有一把长为13厘米的直尺,你在上面刻几条刻度线,使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度,问至少要刻几条线?

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  • 解题思路:至少要刻4条线,例如刻在 1,4,5,11 厘米处,便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度.这是因为由 1,4,5,11,13 这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数,过程见解答.

    至少要刻4条线,例如刻在1,4,5,11厘米处,便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度.这是因为由1,4,5,11,13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数,见下列各式:5-4=1,13-11=2,4-1=3,

    11-5=6,11-4=7,13-5=8,

    13-4=9,11-1=10,13-1=12.

    下面我们来证明,只有3个刻度是不够的.如果只刻了3条线,刻在a厘米、b厘米、c厘米处(0<a<b<c<13),那么 a,b,C,13两两之差(大减小),只有至多6个不同的数:13-a,13-b,13-c,c-a,c-b,b-a,再加上a,b,c,13这4个数,至多有10个不同的数,不可能得到1到13这13个不同的整数来.

    点评:

    本题考点: 数字和问题;长度的测量方法.

    考点点评: 刻法不是唯一的.例如我们也可以刻在 1 厘米,2 厘米,6 厘米,10 厘米这4个位置上.