用向量法：
设直角三角形中,角C为直角.
设三点A,B,C坐标分别为（a1,b1）,(a2,b2),(a3,b3).设AB中点D.
向量AB=(a2-a1,b2-b1),
所以D（0.5(a1+a2),0.5(b1+b2)）.
向量CD=(0.5(a1+a2)-a3,0.5(b1+b2)-b3).
所以CD的长度为(0.5(a1+a2)-a3)^2+(0.5(b1+b2)-b3)^2=1/4a1^2+1/4a2^2+1/2a1a2+a3^2-a1a3-a2a3+1/4b1^2+1/4b2^2+1/2b1b2+b3^2-b1b3-b2b3.(1)
因为AC垂直于BC,
所以向量AC与向量BC的数量积为0.
向量AC=(a3-a1,b3-b1),向量BC=(a3-a2,b3-b2),
它们的数量积为0
则：
a3^2-a2a3-a1a3+a1a2+b3^2-b2b3-b1b3+b1b2=0.(2),
由(2)代入(1),(1)可化为：
1/4a1^2+1/4a2^2-1/2a1a2+1/4b1^2+1/4b2^2-1/2b1b2=AD的长度的平方,证毕.