Question

已知f（x）是R上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1

Answer 1

解题思路：（1）根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数；

（2）根据函数的对称性，即可求出当x∈[1，2]时的f（x）的解析式；

（3）根据函数的周期性先计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

（1）∵f（x）的图象关于x=1对称，

∴f（1+x）=f（1-x），

∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），

即f（2+x）=-f（x），

∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期为4的周期函数；

（2）∵f（x）的图象关于x=1对称，

∴f（1+x）=f（1-x），即f（x）=f（2-x）

当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，

∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1

∴f（x）=f（2-x）=2^2-x-1，x∈[1，2]．

（3）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1

∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1，f（4）=f（0）=0，

∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，

即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×0+f（2012）+f（2013）=f（0）+f（1）=1．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性，对称性和周期性的性质的判断和应用，综合考查函数的性质．