Question

对于四面体ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何证明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何证

Answer 1

(1).取BC的中点F,连结AF,DF,则

∵AB=AC,BD=CD,

∴△ABC与△DBC是等腰三角形,

AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD内,

∴BC

(2).设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.则

∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.

而BO在平面ABO内,∴BO⊥CD.

同理,DO⊥BC.因此,O是△BCD的垂心,因此有

CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.

而AC在平面AOC内,∴BD⊥AC.