如图1,在平面上,给定了半径为r的圆O,对于任意点P,在射线OP上取一点P′,使得OP•OP′=r2,这把点P变为点P的

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  • 解题思路:(1)根据题中给出的条件可得出OB•OB′=OA•OA′=r2,将等积式转换为比例式后即可得出△OAB和△OBA相似,由此可证得所求的条件.

    (2)①应该是一个过O点过两个交点的圆,反演图形中圆和直线都看成圆的话,结论会很简单,一个圆关于⊙O反演图形仍然是圆,这时直线可以看成圆心无限远半径无限大的圆,

    根据OP•OP′=r2知:

    ⊙O外的点的反演点在⊙O内;

    ⊙O内的点的反演点在⊙O外;

    ⊙O上的点的反演点在⊙O上;

    直线与⊙O相交的点的反演点还是该点,

    直线上的无穷远处的点反演到圆心,

    于是三点确定一个圆.

    ②如果直线l与⊙O相切,那么它关于⊙O的反演图形是过切点和O点的圆,该图形与圆O的位置关系是内切,既然直线只与⊙O有一个交点,那么反演图形与⊙O只有一个交点,即相切.

    直线l上有无限远点,于是反演图形过⊙O,于是反演图形为⊙O的内切圆.

    (1)由题意知:OA•OA′=OB•OB′=r2,[OB/OA=

    OA′

    OB′],

    ∵∠AOB=∠B′OA′,

    ∴△AOB∽△B′OA′,

    ∴∠A′=∠B,

    (2)①选择A;

    ②圆;内切.

    点评:

    本题考点: 切线的性质;圆的认识;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题定义三个概念即反演变换、反演点、反演图形.第一问的求解,是在理解题意的基础上直接引用,把等积式转换为比例式.第二问的求救,则需从特殊到一般的分析、归纳、猜想,其中还渗透着无限逼近的思想.