Question

已知PA垂直矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的终点.（1）求证：MN垂直CD；(2)若角PDA=45°,求证

Answer 1

(1)

证明：

取CD中点E,连接NE,ME,

因为

PA垂直面ABCD

CD在面ABCD内

所以

PA垂直CD

又ABCD为矩形

CD垂直AD

因

PA交AD于A

所以

CD垂直面PAD

M,N,E分别为中点

NE平行PD

ME平行AD

所以

面PAD平行面MNE

所以

CD垂直面MNE

MN在面MNE

所以

MN垂直CD

(2)

取PB中点F,连NF,MF

设AD=AP=ME=b,AB=a (b^2=b的平方)

在直角三角形PAD中

可得

PD^2=2b^2

NE^2=PD^2/4=b^2/2

在直角三角形PAB中

可得

PB^2=a^2+b^2

FB^2=PB^2/4=(a^2+b^2)/4

在直角三角形PBC中

可得

FN^2=BC^2/4=b^2/4

在直角三角形NFB中

可得

NB^2=FB^2+FN^2=(a^2+2b^2)/4

在直角三角形NMB中

可得

NM^2=NB^2-MB^2=(a^2+2b^2)/4-a^2/4=b^2/2

因为

ME^2=NM^2+NE^2

所以

MNE为直角三角形

MN垂直NE

CD垂直MN

CD交NE于E

所以

MN垂直面PCD