Question

利用凸函数性质证明：n个实数的算术平均值大于或等于几何平均值,

Answer 1

可以用指数函数.f(x)=e^x是凸函数,所以有

f(y1)+f(y2)+...+f(yn)>=n*f((y1+y2+...yn)/n),即

e^y1+e^y2+...+e^yn>=n*e^((y1+y2+...+yn)/n)

取y1=lnx1,y2=lnx2,...,yn=lnxn,便有

x1+x2+...+xn>=n*(x1x2...xn)^1/n