如图,已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,AB=2,C是⊙O上一点,且AC=BC,PC与⊙O所在的平面成45°角

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)利用线面垂直的判定和性质可得BC⊥平面PAC,因此BC⊥AE.由于PA⊥⊙O所在的平面,可得∠PCA是PC与⊙O所在的平面成的角,于是∠ACP=45°.

    又E是PC中点,可得AE⊥PC.得到AE⊥平面PBC,即可.

    (II)由(I)可知:BC⊥面PAC,因此∠BPC即为PB与面PAC所成角.在Rt△BPC中,tan∠BPC=[BC/PC]即可得出.

    (III)过B作AC的平行线BD交圆于D.则∠PBD为两异面直线所成的角.在△PBD中,由余弦定理可得cos∠PBD=

    P

    B

    2

    +B

    D

    2

    −P

    D

    2

    2PB•BD

    即可得出.

    (Ⅰ)证明:∵PA⊥⊙O所在的平面,∴PC⊥BC,

    ∵BC⊥AC,PA∩AC=A,

    ∴BC⊥平面PAC,

    ∴BC⊥AE.

    ∵PA⊥⊙O所在的平面,

    ∴∠PCA是PC与⊙O所在的平面成的角,

    ∵PC与⊙O所在的平面成45°角,

    ∴∠ACP=45°.

    ∴PA=AC.

    ∵E是PC中点,

    ∴AE⊥PC.

    又PC∩BC=C,

    ∴AE⊥平面PBC,PB⊂面PBC,

    ∴AE⊥PB;

    (Ⅱ)由(I)可知:BC⊥面PAC,

    ∴∠BPC即为PB与面PAC所成角.

    在Rt△BPC中,tan∠BPC=

    BC

    PC=

    2

    2.

    (Ⅲ)过B作AC的平行线BD交圆于D.则∠PBD为两异面直线所成的角.

    由BD=

    2,PB=

    6,PD=2,

    在△PBD中,由余弦定理可得cos∠PBD=

    PB2+BD2−PD2

    2PB•BD=

    3

    3.

    点评:

    本题考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角.

    考点点评: 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.