解题思路:(Ⅰ)利用线面垂直的判定和性质可得BC⊥平面PAC,因此BC⊥AE.由于PA⊥⊙O所在的平面,可得∠PCA是PC与⊙O所在的平面成的角,于是∠ACP=45°.
又E是PC中点,可得AE⊥PC.得到AE⊥平面PBC,即可.
(II)由(I)可知:BC⊥面PAC,因此∠BPC即为PB与面PAC所成角.在Rt△BPC中,tan∠BPC=[BC/PC]即可得出.
(III)过B作AC的平行线BD交圆于D.则∠PBD为两异面直线所成的角.在△PBD中,由余弦定理可得cos∠PBD=
P
B
2
+B
D
2
−P
D
2
2PB•BD
即可得出.
(Ⅰ)证明:∵PA⊥⊙O所在的平面,∴PC⊥BC,
∵BC⊥AC,PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥AE.
∵PA⊥⊙O所在的平面,
∴∠PCA是PC与⊙O所在的平面成的角,
∵PC与⊙O所在的平面成45°角,
∴∠ACP=45°.
∴PA=AC.
∵E是PC中点,
∴AE⊥PC.
又PC∩BC=C,
∴AE⊥平面PBC,PB⊂面PBC,
∴AE⊥PB;
(Ⅱ)由(I)可知:BC⊥面PAC,
∴∠BPC即为PB与面PAC所成角.
在Rt△BPC中,tan∠BPC=
BC
PC=
2
2.
(Ⅲ)过B作AC的平行线BD交圆于D.则∠PBD为两异面直线所成的角.
由BD=
2,PB=
6,PD=2,
在△PBD中,由余弦定理可得cos∠PBD=
PB2+BD2−PD2
2PB•BD=
3
3.
点评:
本题考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.