Question

已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差不为零，且a2=3，又a4，a5，a8成等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列中a₄，a₅，a₈成等比数列，求出数列的公差，即可求得数列{a_n}的通项公式；

（2）假设存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n，则由（1）知S_n=6n-n²，从而可得k=2+[5/n−6]，由此可得结论．

（1）因为a₄，a₅，a₈成等比数列，所以a

25=a₄a₈．

设数列{a_n}的公差为d，则（a₂+3d）²=（a₂+2d）（a₂+6d）．

将a₂=3代入上式化简整理得d²+2d=0，

又因为d≠0，所以d=-2．

于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+7．

（2）假设存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n，则由（1）知S_n=

n(a1+an)

2=6n-n²．

当n=6时，na_n=kS_n不成立，于是k=

nan

Sn=

n(7−2n)

6n−n2=[2n−7/n−6]=2+[5/n−6]．

因为k为正整数，所以n-6≤5，即n≤11，且5被n-6整除，

故当且仅当n-6=±5，或n-6=1时，k为正整数．

即当n=1时，k=1；n=11时，k=3；n=7时，k=7．

故存在正整数对（1，1），（11，3），（7，7），使得na_n=kS_n成立．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．