如图,△ABC的高CF、BG相交于点H,分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点,则下列结论:①AD=AE;②

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  • 解题思路:①△ABC的高CF、BG相交于点H,根据同角的余角相等,即可求得∠ABG=∠ACF,即可得AD=AE;

    ②首先延长AH交BC于M点,由H是垂心,根据同角的余角相等,即可得∠ACB=∠AHE,则可证得∠AHE=∠AEB,根据等角对等边的性质,即可得AH=AE;

    ③由①②,易得△AHG≌△AEG,△ADF≌△AHF,又由DE为△ABC的外接圆的直径,易求得∠ADE=∠BAC=45°,则可得BC=AE.

    ①∵CF、BG是△ABC的高,

    ∴∠AGB=∠AFC=90°,

    ∴∠BAC+∠ABG=90°,∠BAC+∠ACF=90°,

    ∴∠ABG=∠ACF,

    AD=

    AE,

    ∴AD=AE;

    故①正确;

    ②延长AH交BC于M点,

    ∵H是垂心,

    ∴AM⊥BC,

    ∴在△AMC和△AGH中,∠AHG+∠MAC=90°,∠ACM+∠MAC=90°,

    ∴∠ACB=∠AHE,

    ∵∠ACB=∠AEB,

    ∴∠AHE=∠AEB,

    ∴AE=AH;

    故②正确;

    ③由①②可知AD=AE=AH,

    ∴△AHG≌△AEG,△ADF≌△AHF,

    ∴∠DAF=∠HAF,∠EAG=∠HAG,

    ∴∠BAC=[1/2]∠DAE,

    ∵当DE为直径时,∠DAE=90°,

    ∴∠BAC=45°,

    ∵在Rt△ADE,AD=AE,

    ∴∠ADE=45°,

    ∴AE=BC.

    故③正确.

    故选D.

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系.

    考点点评: 此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是掌握数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.