Question

已知数列{an}的首项a1=3，前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+2n（n∈N）．记Tn为数列{an+1}前n项和，求

Answer 1

解题思路：由数列递推式S_n+1=3S_n+2n得到a_n+1=2S_n+2n，取n=n-1（n≥2）得到另一递推式，作差后得到从第二项开始，数列{a_n+1}是等比数列．由等比数列的求和公式求出其前n项和，代入

T

n

+

1

2

T

n

+

2

n

整理后可求最小值．

由S_n+1=3S_n+2n，得

S_n+1-S_n=2S_n+2n，

a_n+1=2S_n+2n ①

∴a_n=2S_n-1+2（n-1）（n≥2）②

①-②得：a_n+1-a_n=2a_n+2 （n≥2），

a_n+1=3a_n+2 （n≥2），

a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）．

∴从第二项开始，数列{a_n+1}是等比数列．

在S_n+1=3S_n+2n中，令n=1，得

S₂=3S₁+2=3a₁+2=3×3+2=11，

a₂=S₂-a₁=11-3=8，

a₁+1=4，a₂+1=9，

a₂+1不是a₁+1的3倍．

∴{a_n+1}从第二项起是等比数列．

则Tn＝4+

9(1−3n−1)

1−3＝

1

2(3n+1−1)．

∴

Tn+

1

2

Tn+2n=

3n+1

2

3n+1

2+2n−

1

2

=

3n+1

3n+1+2n+1−1=[1

1+(

2/3)n+1−(

1

3)n+1]．

由指数函数y＝(

2

3)x与y＝(

1

3)x的图象可知，

当n逐渐增大时，(

2

3)n+1−(

1

3)n+1大于0逐渐减小，

∴只有当n=1时，

Tn+

1

2

Tn+2n取最小值

32

32+22−1＝

3

4．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查了数列递推式，关键是由递推式构造出等比数列，考查了指数函数的图象和性质，是有一定难度题目．