Question

已知动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切．

Answer 1

（1）由题意可知，圆心到定点A（2，0）的距离与到定直线X=-2的距离相等，

由抛物线定义可知，轨迹C为以A（2，0）为焦点，X=-2为准线的抛物线，

∴p=2，∴抛物线方程为y ²=8x…（4分）

（2）假设存在直线l符合题意．…（5分）

由题意易知，直线l的斜率k存在且不为零，

又因过点（0，1），故设直线l的方程为y=kx+1，…（6分）

联立直线与抛物线方程得

y=kx+1

y 2 =8x ，消元整理得k ²x ²+（2k-8）x+1=0，

设交点坐标为P（x ₁，y ₁），Q（x ₂，y ₂），则△=（2k-8） ²-4k ²＞0，∴k＜2 ①

且x ₁+x ₂= -

2k-8

k 2 ， x 1 x 2 =

1

k 2 ；…（9分）

∴

AP •

AQ =（x ₁-2，y ₁）•（x ₂-2，y ₂）=（k ²+1）x ₁x ₂+（k-2）（x ₁+x ₂）+5

= ( k 2 +1)•

1

k 2 +（k-2）•（ -

2k-8

k 2 ）+5=

4 k 2 +12k-15

k 2 =0

∴k= -

3

2 ±

6 符合①，…（12分）

所以存在符合题意的直线l，其方程为y=（ -

3

2 ±

6 ）x+1．…（13分）