解题思路:作辅助线构造两对相似三角形,借助等边三角形的性质分别求出[1/CE、
1
BF]关于边长m的代数式,问题即可解决.
过点D分别作DP∥AB,DQ∥AC,交BC于点P、Q;
∵点M、N分别为AB、AC边的中点,
∴MN∥BC,MN=[1/2BC;
∴四边形DMBP、四边形DNCQ分别是平行四边形,
∴BP=DM,CQ=DN,
∴BP+CQ=MN=
1
2BC,PQ=BC-
1
2BC=
1
2BC(设为m)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°;
而∠DPQ=∠ABC=60°,∠DQP=∠ACB=60°,
∴△DPQ是等边三角形,DP=DQ=PQ=
1
2m;
∵DQ∥AC,
∴
DQ
CE=
BQ
BC],[1/CE=
BQ
DQ•BC=
2BQ
m2];
同理可证:[1/BF=
2CP
m2];
∴[1/CE+
1
BF=
2(BQ+CP)
m2],
而BQ+CP=(BQ+CQ)+PQ=m+[1/2m=
3
2m,
∴
1
CE+
1
BF=
3
m];
又∵[1/CE+
1
BF=
1
a],
∴[3/m=
1
a],m=3a;
即△ABC的边长为3a.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
考点点评: 该题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形;对综合运用能力提出了较高的要求.
1年前
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