已知:如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,D是MN上任意一点,CD、BD的延长线分别与AB、AC交

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  • 解题思路:作辅助线构造两对相似三角形,借助等边三角形的性质分别求出[1/CE、

    1

    BF]关于边长m的代数式,问题即可解决.

    过点D分别作DP∥AB,DQ∥AC,交BC于点P、Q;

    ∵点M、N分别为AB、AC边的中点,

    ∴MN∥BC,MN=[1/2BC;

    ∴四边形DMBP、四边形DNCQ分别是平行四边形,

    ∴BP=DM,CQ=DN,

    ∴BP+CQ=MN=

    1

    2BC,PQ=BC-

    1

    2BC=

    1

    2BC(设为m)

    ∵△ABC是等边三角形,

    ∴∠ABC=∠ACB=60°;

    而∠DPQ=∠ABC=60°,∠DQP=∠ACB=60°,

    ∴△DPQ是等边三角形,DP=DQ=PQ=

    1

    2m;

    ∵DQ∥AC,

    DQ

    CE=

    BQ

    BC],[1/CE=

    BQ

    DQ•BC=

    2BQ

    m2];

    同理可证:[1/BF=

    2CP

    m2];

    ∴[1/CE+

    1

    BF=

    2(BQ+CP)

    m2],

    而BQ+CP=(BQ+CQ)+PQ=m+[1/2m=

    3

    2m,

    1

    CE+

    1

    BF=

    3

    m];

    又∵[1/CE+

    1

    BF=

    1

    a],

    ∴[3/m=

    1

    a],m=3a;

    即△ABC的边长为3a.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 该题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形;对综合运用能力提出了较高的要求.

    1年前

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