Question

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1,点M是对角线A1B上的一动点,则AM+MD1的最小值为?/\

Answer 1

可设MA1=x,(1)易知,⊿MA1D1为Rt⊿,∠MA1D1=90º.∴由勾股定理知MD1=√(x²+1).(2)在⊿AMA1中,易知AA1=1,MA1=x,∠MA1A=45º.∴由余弦定理知,AM²=x²+1-(√2)x.∴AM=√[x²-(√2)x+1].(3)由上可知,AM+MD1=√(x²+1)+√[x²-(√2)x+1]=√[(x-0)²+(0-1)²]+√{[x-(√2/2)]²+[0+(√2/2)]²}.∴后面一式的几何意义是：x轴上的一点(x,0)到两定点P(0,1),Q(√2/2,-√2/2)的距离的和.由“直线段最短”可知,（|AM|+|MD1|)min=|PQ|=√(2+√2).