Question

已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2 ,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数的平方和,请说明理由

Answer 1

xy=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)

=a^2*c^2 + a^2*d^2 + b^2*c^2 + b^2*d^2

=(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2

=(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2+2abcd-2abcd

=[(ac)^2+2*ac*bd+(bd)^2]+[ (ad)^2 -2*ad*bc+ (bc)^2]

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

因为abcd是整数,所以ac+bd、ad-bc都是整数.