Question

已知f(x)是定义在R上的函数且f(x+2)=1+f(x)/1-f(x) 求证：f(x)是周期函数

Answer 1

f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)]

1+f(x+2)=1+[1+f(x)]/[1-f(x)]=2/[1-f(x)]

1-f(x+2)=1-[1+f(x)]/[1-f(x)]=-2f(x)/[1-f(x)]

所以f(x+4)=[1+f(x+2)]/[1-f(x+2)]

={2/[1-f(x)]}/{-2f(x)/[1-f(x)]}

=-1/f(x)

所以,f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)

即f(x) 是周期函数,周期是8