做此题事前,知道双曲线是有对称性的,如果能满足题意,则满足题意的至少有四个三角形.
此题求面积,与几个三角形没关系,我们只探讨简便算法,如果遇到此题时,怎样快速见效.
此题,先画图.如果按照1楼不负责任地做法,你会做至少一个小时,中间很容易做错.细心发现：底边就是x轴上的焦距,知道M的坐标,其纵坐标的绝对值不就是三角形的高H吗?
方向：求M坐标.
（1）怎样快速：向量坐标运算最快出坐标.不妨设M（x1,y1）
首先满足 x1²/4-y1²/9=1---------①
垂直关系向量F1M⊥向量F2M,向量F1M（x1-√13,y1）F2M（x2+√13,y1）
坐标运算：x1²-13+y1²=0------②（之前说了 四个点对吧,只需找到y1²,得到y1的绝对值）
消去X1,得y1²=81/13 H=绝对值y1=9√13/13
△底边=F1F2=2√13 S=9（快不快!）
（2）和（1）一样,设出M2（x2,y2）,M3（x3,y3） 先列60°的
cosθ=1/2= （x1²-13+y1²）/ [√(x1-√13)²+y1²][[√(x1+√13)²+y1²]-----② 可是分母展开化简得有16项,计算不现实.
重新审视此题,我们利用最原始的双曲线定义：到两个焦点的距离差为常数2a.三角形,顶角是60°,两个临边长边减短边等于2a=2*2=4.做出三角形,让FM2为长边（四个三角形中的一个）
过F1往MF2这条线上做高H,F1H=√3/2F1M F2H=F2M-(1/2)*F1M(F1H=1/2F1M)
在Rt△F2HF1中,利用勾股定理 ：
3/4*F1M²+[F2M-(1/2)FM1]²=F1F2²=52 展开：
很整齐的式子：F1M²+F2M² - F1M*F2M=52---------②
配方啊,（F2M -F1M）²+F1M *F2M=52 （F2M-F1M=定值2a=4啊,多过瘾）
F1M * F2M= 36
正弦定理S△=(1/2)*36*sin 60°=9√3,绝对和1楼的方法不同!利用的是双曲线的基本定义.
120°,也一样,也是做高 ,但是得在F2M的延长线上做H.
勾股定理应写成：3/4*F1M²+[F2M + (1/2)FM1]²=F1F2²=52
配方化简：,（F2M -F1M）²+3 *F1M *F2M=52
F1M * F2M=12
S△=(1/2)*12*sin 120°=3√3