Question

如图所示,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB．

Answer 1

（1）证明：连接AC,

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

又∵OD⊥BC

∴AC∥OE

∴∠CAB=∠EOB

由 AC^对的圆周角相等

∴∠AEC=∠ABC

又∵∠AEC=∠ODB

∴∠ODB=∠OBC

∴△DBF∽△OBD

∴∠OBD=90°

即BD⊥AB

又∵AB是直径

∴BD是⊙O的切线．

（2）∵OD⊥弦BC于点F,且点O为原点

∴BF=FC

∴BF=4

由题意OB是半径即为5

∴在直角三角形OBF中OF为3

由以上（1）得到△OBF∽△OBD

∴ BD/BF=OB/OF

即得BD= 20/3．

（3）

连结BE

∵AB为直径

∴∠AEB=90°

∵OD⊥BC

∴△BFE∽△EFG

∵BF=4

FE=5-3=2

∴GF=1