（1）依题意：f（x）=lnx+x 2-bx
∵f（x）在（0，+∞）递增
∴ f′(x)=
1
x +2x-b≥0 对x∈（0，+∞）恒成立
∴ b≤
1
x +2x
∵x＞0
∴
1
x +2x≥2
2 当且仅当 x=
2
2 时取“=”，
∴ b≤2
2 ，
且当 b=2
2 时， x∈(0，
2
2 )，f′(x)＞0 ， f′(
2
2 )=0 ， x∈(
2
2 ，+∞)，f′(x)＞0
∴符合f（x）在（0，+∞）是增函数∴ b∈(-∞，2
2 ]
（2）设t=e x，
∵x∈[0，ln2]
∴1≤t≤2，
则函数g（x）化为： y= t 2 +bt=(t+
b
2 ) 2 -
b 2
2 ，t∈[1，2]
①当 -
b
2 ≤1 时，即 -2≤b≤2
2 时．y在[1，2]递增∴当t=1时，y min=b+1
②当 1＜-
b
2 ＜2 时，即-4＜b＜-2，当 t=-
b
2 ， y min =-
b 2
4
③当 -
b
2 ≥2 ，即b≤-4时，y在[1，2]递减，当t=2时，y min=4+2b
综上： g(x ) min =
4+2b
b≤-4
-
b 2
4
-4＜b＜-2
1+b
-2≤b≤2
2
（3）∵a 1=1，a 2=ln1+1+2=3＞1，a 3=ln3+3+2＞1
假设a k≥1（n≥1），则a k+1=lna k+a k+2＞1，∴a n≥1成立
设F（x）=lnx-x+1，（x≥1），则 F′(x)=
1
x -1＜0
∴F（x）在[1，+∞]单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴lnx≤x-1
∴lna n≤a n-1，故a n+1≤2a n+1，∴a n+1+1≤2（a n+1）a n+1+1≤2（a n+1）≤2 2（a n-1+1）≤≤2 n（a 1+1）=2 n+1，
∴a n+1≤2 n⇒a n≤2 n-1