Question

a,b,c,d为整数,且ad-bc=1,证明（a²+b²,ac+bd)=1（与最大公约数最小公倍数有

Answer 1

令m=a,n=b,

u=am+bn＝a2+b2,

v=cm+dn=ac+bd,

则va-uc=n,ud-vb=m

由ad-bc=1得（m,n)=(a,b)=1

所证即证：（am+bn,cm+dn)=1

(m,n)|(am+bn,cm+dn)=(u,v)

(u,v)|(ud-vb,va-uc,)=(m,n)

所以(u,v)=(m,n)=(a,b)=1

即（a²+b²,ac+bd)=1